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martedì, Maggio 11, 2021
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La Matrice Elementare: Definizione e Esempi

A volte la matematica può sembrare alquanto difficile, soprattutto quando i numeri diventano sempre più grandi e le espressioni e formule sempre più complesse. Ad esempio, quando si aggiungono lettere o segni all’apparenza strani, si teme quasi di parlare di astrofisica, ma non bisogna temere. Con un po’ di aiuto, concentrazione e soprattutto forza di volontà, tutto può diventare più semplice e potrai cominciare ad apprezzare il magnifico linguaggio dei numeri e della matematica. In questo articolo potrai scoprire i segreti della matrice elementare e le regole del suo funzionamento.

Innanzitutto, analizziamo la sua definizione: cosa è una matrice elementare?

  • La matrice elementare è un tipo di matrice quadrata, presente nell’algebra lineare. Inn particolare, una matrice quadrata è una tabella ordinata di elementi, che presenta uno stesso numero di colonne e righe, che in algebra sono chiamate ‘ordini’. Questo tipo di matrici può essere utilizzato in alcuni tipi di operazioni, come l’algoritmo di Gauss o le fattorizzazioni di LU e QR.

L’elemento che contraddistingue una semplice matrice quadrata da una elementare è la presenza di coefficienti reali o complessi. Ad esempio, possiamo trovare

I + A

Con I viene identificata come la matrice d’identità (termine con cui viene indicata una matrice elementare, dove ogni elemento della diagonale principale sono è 1, mentre gli altri elementi sono 0). Con A come matrice con rango al più di 1. Questo significa, dunque, che le righe, dette anche colonne, di A contengono tutte delle cifre multiple l’una dell’altra. Un esempio di A potrebbe essere:

Allo stesso momento, A rappresenta anche il rapporto di due vettori, secondo la formula:

In cui il primo vettore u è colonna, invece il secondo, ovvero v elevato a T è riga, in quanto l’elevazione va a indicare la trasporta di v. La rappresentazione di A in questo caso sarebbe.

Infine, si può esprimere questa matrice elementare con la formula:

In cui α diventa un coefficiente, che può essere reale o complesso, mentre v e u sono due vettori non nulli.

Come è stato anticipato, uno dei diversi tipi di matrici elementari e forse fra i più usati, è la matrice di Gauss. Esse sono delle matrici elementari che sono definite come delle operazioni utilizzate per interpretare le mosse di Gauss per le moltiplicazioni in una matrice. Possono essere di tre tipi

  • Scambio di righe – in questo caso di può ottenere la matrice attraverso la matrice identità scambiando le due righe
  • Moltiplicazione di una riga per uno scalare – con questa modalità la matrice viene trovata dalla matrice identità, moltiplicando la riga i-esima per un certo numero m
  • Combinazione scalare – ovvero si ottiene il risultato dalla matrice identità, aggiungendo alla riga i-esima la riga j-esima moltiplicata per un numero m

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